\[
\newcommand{\bs}{\boldsymbol}
\newcommand{\bsX}{\boldsymbol{X}}
\newcommand{\bf}{\mathbf}
\newcommand{\msc}{\mathscr}
\newcommand{\mca}{\mathcal}
\newcommand{\T}{\text{T}}
\newcommand{\rme}{\mathrm{e}}
\newcommand{\rmi}{\mathrm{i}}
\newcommand{\rmj}{\mathrm{j}}
\newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\rmm}{\mathrm{m}}
\newcommand{\rmb}{\mathrm{b}}
\newcommand{\and}{\land}
\newcommand{\or}{\lor}
\newcommand{\exist}{\exists}
\newcommand{\sube}{\subseteq}
\newcommand{\lr}[3]{\left#1 #2 \right#3}
\newcommand{\intfy}{\int_{-\infty}^{+\infty}}
\newcommand{\sumfy}[1]{\sum_{#1=-\infty}^{+\infty}}
\newcommand{\vt}{\vartheta}
\newcommand{\ve}{\varepsilon}
\newcommand{\vp}{\varphi}
\newcommand{\Var}{\text{Var}}
\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}
\newcommand{\edef}{\xlongequal{def}}
\newcommand{\prob}{\text{P}}
\newcommand{\Exp}{\text{E}}
\newcommand{\t}[1]{\text#1}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\versionofnewcommand}{\text{260125}}
\]
Hodgkin-Huxley Model
Definition of HH model
Hodgkin-Huxley 模型中, 将神经元细胞膜视为如下的电路:
于是有:
\[
C\frac{\rmd u}{\rmd t}=-\sum_k I_k+I(t)
\]
其中, 通过离子通道的电流 \(I_k\) 以如下形式表述:
\[
\sum_kI_k=g_{\text{Na}}m^3h(u-E_{\text{Na}})+g_{K}n^4(u-E_{\text{K}})+g_{\text{L}}(u-E_{\text{L}})
\]
同时, \(m\), \(n\), \(h\) 都可以用相同形式的微分方程表述:
\[
\frac{\rmd x}{\rmd t}=-\frac{1}{\tau_x(u)}[x-x_0(u)]
\]
另一种等价的, 基于通道开放/关闭概率的表述如下:
\[
\frac{\rmd x}{\rmd t}=\alpha_x(u)(1-x)-\beta_x(u)x
\]
其中, \(\alpha\) 表示开放, \(\beta\) 表示关闭.