\[ \newcommand{\bs}{\boldsymbol} \newcommand{\bsX}{\boldsymbol{X}} \newcommand{\bf}{\mathbf} \newcommand{\msc}{\mathscr} \newcommand{\mca}{\mathcal} \newcommand{\T}{\text{T}} \newcommand{\rme}{\mathrm{e}} \newcommand{\rmi}{\mathrm{i}} \newcommand{\rmj}{\mathrm{j}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}} \newcommand{\rmm}{\mathrm{m}} \newcommand{\rmb}{\mathrm{b}} \newcommand{\and}{\land} \newcommand{\or}{\lor} \newcommand{\exist}{\exists} \newcommand{\sube}{\subseteq} \newcommand{\lr}[3]{\left#1 #2 \right#3} \newcommand{\intfy}{\int_{-\infty}^{+\infty}} \newcommand{\sumfy}[1]{\sum_{#1=-\infty}^{+\infty}} \newcommand{\vt}{\vartheta} \newcommand{\ve}{\varepsilon} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\Var}{\text{Var}} \newcommand{\Cov}{\text{Cov}} \newcommand{\edef}{\xlongequal{def}} \newcommand{\prob}{\text{P}} \newcommand{\Exp}{\text{E}} \newcommand{\t}[1]{\text#1} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\versionofnewcommand}{\text{260125}} \]

Digital Signal 数字信号

我们一般用函数表示信号, 在基础课中, 先讨论一维函数.

数字信号所谓 "数字", 主要体现在两方面: 1. 在时间上是离散化的 2. 在取值上也有所不同. 这里, 我们先讨论前者

等时间间隔离散化

假设采样的时间间隔为 \(T\), 就有:

\[ x(t) \to \{x(kT)\}_{k=-\infty}^{+\infty} \]

每一次的采样用 Dirac \(\delta\) 函数表示.

\[ x(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(k)\cdot\delta(n-k) \]

这样的符号表达在一开始会有些不适应, 但没关系, 多用就熟练了.

数字信号的周期

举个例子:

$$ x(n)=\exp(j\frac{2n\pi}{N})\Rightarrow x(n)=x(n+N)\ $$ 假若换个形式: $$ x(n)=\exp(jn) $$ 当 \(X\) 是连续的模拟信号时, 显然是有周期的. 但一旦变成离散的数字信号, 周期就不存在了, 因为 \(2\pi\) 不能用整数表达.

线性时不变 (Linear Time Invariant, LTI)

信号处理, 或者说系统, 也是一个函数. 例如: $$ y(n)=L(x(n))=L(\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k)\cdot\delta(n-k)) $$ 这是一个无记忆 (Memoryless) 的处理, \(n\) 时刻的输出仅取决于 \(n\) 时刻的输入.

现在, 有一个重要的假设: 该系统是 线性 的. 线性已经足够用了, 何必那么较真呢? 张真人有言, 文明靠假设推动, 观察到的具体是不是真实, 取决于用多大倍率的放大镜去看. $$ y(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)L(\delta(n-k)) $$ 线性的系统, 使得系统的处理在实际上没有做到 \(X(k)\) 身上, 而是仅仅作用在不依赖于 \(X\) 的 \(\delta\) 函数上.

张真人又有言: 好的假设有三个特点: 1. Simple; 2. Rapid Forward; 3. Widely Applicated.

这样, 我们再引入一个假设: 时不变 (Time Invariant) , 系统不随时间改变, 加上一个时延不影响结果: $$ L(x(n-n_0))=y(n-n_0) $$ 于是, 设 \(L(\delta(n))=h(n)\), 这个 \(h(n)\) 是隶属于系统, 而与 input 无关的函数, 称之为 Unit Impulse Response, 单位冲激响应. 那么: $$ y(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)h(n-k) $$ 这样, 得到线性时不变 (Linear Time Invariant, LTI) 系统下的输入输出基本关系: 卷积 (Convolution), 记作:

\[ x(n)* h(n) \]

根据求和换元, 容易证明交换律:

\[ x(n)* h(x)=h(x)*x(n) \]

以及分配率:

\[ x(n)* (h_1(n)+h_2(n))=x(n)*h_1(n)+x(n)*h_2(n) \]

因果 Casual

一个现实中存在的系统, 在处理信息时只能处理已经发生的事, 而不能利用未来. 也就是说, 输出 \(y(n)\) 只依赖于 \(\{x(n),x(n-1),\cdots,x(n-k)\}\).

对于 LTI 系统而言, 输入其实就是冲激函数, 因此 \(h\) 是重点关注对象 (而非 \(x\)).

在 Casual 的限制下, \(k\) 最大只能到 \(n\). $$ y(n)=\sum_{k=-\infty}^n x(n)h(n-k) $$ 当 \(k>n\) 时, \(h(n-k)\) 理应归零, 此时\(n-k<0\). 因此, "因果" 可以这样刻画: $$ \text{Casual}\Leftrightarrow h(k)=0,\ k<0 $$ "\(\Rightarrow\)" 的严格证明:

即证: $$ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)h(n-k)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k)h(n-k) $$ 为了方便, 换个顺序来写, $$ y(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)x(n-k)=\sum_{k=-\infty}^{-1}h(k)x(n-k)+\sum_{k=0}^{+\infty}h(k)x(n-k) $$ 如果存在 \(h(k_1)\neq 0,k_1<0\) , 那么构造 \(x\) 使得 \(x(n-k_1)\neq0\) 且 \(x(k)=0, k\neq n-k_1\), 于是有:

\[ \begin{aligned} y(n)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)x(n-k)=h(k_1)x(n-k_1)\neq0\\ y(n)&=\sum_{k=0}^{+\infty}h(k)x(n-k)=0 \end{aligned} \]

由矛盾得证.

稳定 Stable

有限的输入会得到有限的输出. 即: $$ |x(n)|\leq M_x,\forall n\Rightarrow |y(n)|\leq M_y,\forall n $$ 这意味着什么呢?

\[ \begin{aligned} y(n) & =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)x(n-k)\\ \Rightarrow\quad |y(n)| & =\Bigg|\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)x(n-k)\Bigg|\leq \sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h(k)||x(n-k)|\\ & \leq M_x\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h(k)|\leq M_y \end{aligned} \]

因此, 考察 \(y(n)\) 是否有界, 只需要分析 \(\sum h(k)\) 的界.

这样, 再引入一个假设, $$ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h(k)|\leq M_h $$ 如果该绝对和无界, 构造

\[ \begin{aligned} &&x(n-k) &=\frac{h^*(k)}{|h(k)|}\\ \Rightarrow &&y(n) &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\cdot\frac{h^*(k)}{|h(k)|}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h(k)| \end{aligned} \]

此时, 该系统不稳定. 因此:

\[ \text{Stable} \Leftrightarrow \sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h(k)|\leq M_h \]