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随机过程绪论

在概率论课程中, 我们关注随机变量的特征:

\[ \begin{aligned} &X: \Omega\to\R,\\ &F_X(x),\ f_X(x),\ E(x^k),\dots \end{aligned} \]

在随机过程中, 我们关注多个随机变量, 尤其是它们之间的联系. 在这门随机过程课中, 将会涉及 Linear Correlation 和 Markov Property 两方面的联系. 其中, Linear Correlation 可以说是最简单的 relation, 本课程将涉及时域, 频域上的分析, 以及具有代表性的 Gaussian Process; 对于 Markov Property, 我们将关注 Discrete / Continuous Time Markov Chain 以及其最简单的形式: Poisson Process. 如果要再深入一点, 就要讲鞅论了, 此非本课程所能涉及. 不过在本人的 Stochastic Processe 笔记中将会提到.

首先, 我们感性理解一下什么是随机过程.

随机过程,可以说是一堆 random variables, usually noted as \(X(t)\). 变量 \(t\) 代指时间, 也可以抽象地代指任何东西, 具体代表什么并不重要, 重要的是, 它将随机过程与随机变量区分开来, 使其称为一个 随机的函数. 当然, 如果要更严格地写, 随机过程应当记为 \(X(\omega,t)\), 其中的 \(\omega\) 代表样本点, 或者说, 随机过程的 样本轨道 (sample path).