\[
\newcommand{\bs}{\boldsymbol}
\newcommand{\bsX}{\boldsymbol{X}}
\newcommand{\bf}{\mathbf}
\newcommand{\msc}{\mathscr}
\newcommand{\mca}{\mathcal}
\newcommand{\T}{\text{T}}
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\]
Sampling 采样
真实的世界是连续的, 数字只是人类的智力活动. 欲利用数字技术刻画真实世界, 一定要涉及的话题是 "采样".
\[
\begin{aligned}
x(t) &\leftrightarrow x(n)\\
x(j\Omega) &\leftrightarrow x(e^{j\omega})\\
X(j\Omega) &=\int_{-\infty}^{+\infty}X(t)\exp(-j\Omega t)\ dt\\
X(e^{j\omega}) &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(k)=\exp(-j\omega k)
\end{aligned}
\]
假如现在在时域上, 我们进行周期采样, 时间间隔为 \(T\). 在实践中, 我们不可能在无穷小的时间内确定某个点上的精确值, 因此采样也分为理想和非理想的. 不过, 现在我们先假设采样都是理想的. 那么, 采样到的离散信号可以记为
\[
x(n)=x(nT)
\]
现在, 我们想寻求频域上连续与离散的联系. 但一个是积分, 一个是求和, 该如何操作? 考虑引入一个中间状态:
\[
x_s(t)=x_c(t)\cdot\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT)
\]
该中间状态 \(x_s(t)\) 仍然是个连续信号, 但同时也体现了离散的采样. \(\delta\) 函数的累加意味着采样信号, 与原始连续信号 \(x_c(t)\) 相乘则是对采样信号进行调制, 调制的幅度由连续信号在采样点上的取值决定.
进一步地,
\[
\begin{aligned}
x_s(t)=&\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_c(t)\cdot\delta(t-kT)\\
=&\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_c(kT)\cdot\delta(t-kT)
\end{aligned}
\]
若想探究频域上的样子, 考虑到时域上相乘则频域上卷积, 就要分别研究 \(x_c(kT)\) 和 \(\delta(t-kT)\) 在频域上的模样. 然而 \(\delta\) 是个广义函数. 但没关系, 我们这样看:
\[
\begin{aligned}
g(t) &\edef\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT)\\
g(t) &=g(t+T),\forall t
\end{aligned}
\]
对于周期函数, 我们可以进行傅里叶展开:
$$
\begin{aligned}
g(t)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_k\exp(j\frac{2\pi k}{T}t)\
\alpha_k&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)\exp(-j\frac{2\pi k}{T}t)\ dt\
&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)\exp(-j\frac{2\pi k}{T}t)\ dt
\end{aligned}
$$
对于 \(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)\), 只有 \(n=0\) 时的 \(\delta\) 落在积分限 \((-\frac{T}{2},\frac{T}{2})\) 内, 因此:
\[
\begin{aligned}
\alpha_k &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}
\delta(t)\exp(-j\frac{2\pi k}{T}t)\ dt\\
&=\frac{1}{T}\cdot \left(\exp(-j\frac{2\pi k}{T}t)\right)\Bigg|_{t=0}\\
&=\frac{1}{T}
\end{aligned}
\]
于是有:
\[
g(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\exp(j\frac{2\pi k}{T}t)
\]
由于复指数的傅里叶变换有如下结论:
\[
\mathcal{F}(\exp(j\omega_k t))=2\pi\delta(\omega-\omega_k)
\]
即, 复指数与 \(\delta\) 互为傅里叶变换对. 于是:
\[
\begin{aligned}
\hat{g}(j\Omega)&=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\Omega-\frac{2k\pi}{T})\\
&=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\Omega-k\Omega_s), \quad\Omega_s=\frac{2\pi}{T}
\end{aligned}
\]
接下来, 可以作卷积了.
\[
\begin{aligned}
X_s(j\Omega)=&\ \frac{1}{2\pi}X_c(j\Omega)*\hat{g}(j\Omega)\\
=&\ \frac{1}{2\pi}X_c(j\Omega)*
\left( \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\Omega-k\Omega_s) \right)\\
=&\ \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_c(j(\Omega-k\Omega_s))
\end{aligned}
\]
这其实是一步 频谱搬移, Spectrum Shifting. 这相当于在图像上把频谱搬移了 \(k\Omega_s\) 距离. 因此可以说, 频谱搬移等价于离散采样.
注意, \(\Omega_s\) 是采样频率, 因此通过调整采样频率, 可以让频谱搬移后的结果在图像上 "分的足够开", 因为这显然是一个很好的性质, 例如可以建立原始信号到搬移结果的一一对应. 不过, 这一定就要对原始信号的频谱带宽作限制, 否则无论搬移多远都会产生重合, 从而在反映原始频谱时出现 Loss. 假设 单边带宽 Single-Side Bandwidth 为 \(\Omega_c\) 那么, 采样频率具体要满足什么要求呢? 为了保证不重合, 一定有:
\[
\Omega_s\geq 2\Omega_c
\]
此即 Nyquist 采样定理.
同时, 采样频率足够大, 意味着采样间隔足够宽, 那么反映信号在时域上的信息必然有许多 Loss. 另外, 如果带宽无限, 即原始信号的波动要多密集有多密集, 那么无论多短的采样间隔总是会产生 Loss. 这样来看, 时域上的 Loss 与频域上的 Loss 具有某种一致性.
好, 现在既然已经通过约束采样频率, 把一系列频谱图搬开了. 那么, 如何得到原始信号的频谱呢? 很简单! 通过一个低通滤波, 把最中间, 即 \(y\) 轴上 \(k=0\) 时的那个图滤出来就好了!
\[
\begin{aligned}
X_r(j\Omega) &=H_r(j\Omega)\cdot X_s(j\Omega)\\
H_r(j\Omega) &=
\begin{cases}
1& |\Omega|\leq \Omega_r\\
0& others
\end{cases}
\end{aligned}
\]
其中,
\[
\Omega_c\leq \Omega_r\leq\Omega_s-\Omega_c
\]
这样就有
\[
X_r(j\Omega)=X_c(j\Omega)
\]
接下来, 从 \(X_s(j\Omega)\) 和 \(x(s)\) 的关联本身来看 \(X_s(j\Omega)\)
\[
\begin{aligned}
X_s(j\Omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x_s(t)\exp(-j\Omega t)\ dt\\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_c(kT)\cdot\delta(t-kT))\exp(-j\Omega t)\ dt\\
&= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_c(kT)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT)\exp(-j\Omega t)\ dt\\
&= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_c(kT)\exp(-j\Omega(kT))
\end{aligned}
\]
同时, 对于离散信号有
\[
X(e^{j\omega})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)\exp(-j\omega k)
\]
容易发现,
\[
x_c(kT)=x(k)\\
\]
而如果:
\[
\Omega=\frac{\omega}{T}
\]
则显然就有:
\[
\begin{aligned}
X(e^{j\omega})&=X_s(j\frac{\omega}{T})\\
\Rightarrow X(e^{j\omega})&=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_c\left(j(\frac{\omega}{T}-k\frac{\omega_s}{T})\right)
\end{aligned}
\]
这样, 就实现了连续信号到离散信号的转变. 这里值得再强调一下, 频谱搬移等价于离散采样. 这是本节最重要的思想观念.
另外, 反过来也成立. 在时域上进行 "搬移", 或者说周期延拓, 也等价于在频域上离散采样. 即 一个域上搬移等价于另一个域上采样
最后, 我们再讨论一个事. 如果已知采样 \(x_c(kT)\) 结果, 能否复原出原始信号 \(x_c(t)\)? 当然可以! \(x_c(kT)\) 不就是离散的 \(x(k)\) 嘛. 既然采样后的频谱是原始信号频谱搬移的结果, 那么通过一个低通滤波器 \(H_r\) 处理就很容易还原出 \(x_c(t)\) 了. 只不过在时域上计算时, 仍然要请出那个兼有离散性质的连续函数 \(x_s(t)\) 来代替 \(x(k)\).
\[
\begin{aligned}
x_c(t)=&h_r(t)* x_s(t)\\
=& h_r(t)* \left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_c(kT)\cdot\delta(t-kT)\right)\\
=& \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_c(kT)\cdot (h_r(t)*\delta(t-kT))\\
=& \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_c(kT)\cdot h_r(t-kT)
\end{aligned}
\]
其中,
\[
\begin{aligned}
h_r(t)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}H_r(j\Omega)\exp(j\Omega t)\ d\Omega\\
=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega_r}^{\Omega_r}\exp(j\Omega t)\ d\Omega\\
=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega_r}^{\Omega_r}\cos(\Omega t)\ d\Omega\\
=&\frac{1}{2\pi}\frac{\sin(\Omega t)}{t}\Bigg|_{-\Omega_r}^{\Omega_r}\\
=&\frac{1}{\pi}\frac{\sin(\Omega_rt)}{t}
\end{aligned}
\]
我们可以说, 采样实际上就是在做插值 (Interpolation). 插值的基是一个 \(Sa\) 函数 \(h_r(t)\).
另外, 我们也可以说, 采样是在做展开. 这一观念有助于研究非周期信号. 周期信号中, 展开的基是 \(Sa\) 函数, 非周期信号展开用的基则是别的函数了.
这里, 对 "时域上搬移等效于频域上采样" 作严格说明:
设 \(f(t)\) 周期延拓的结果为 \(g(t)\)
\[
\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(t+kT)=g(t)=g(t+kT)
\]
对周期函数 \(g(t)\) 进行傅里叶展开
$$
g(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\alpha_n\exp(j\frac{2\pi n}{T}t)\
\begin{aligned}
\alpha_n=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} G(t)\exp(-j\frac{2\pi n}{T}t)\ dt\
=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sum_{k=-\infty}^{+\infty}
f(t+kT)\exp(-j\frac{2\pi n}{T}t)\ dt\
=&\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}
f(t+kT)\exp(-j\frac{2\pi n}{T}t)\ dt\
=&\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{kT-\frac{T}{2}}^{kT+\frac{T}{2}}
f(t^\prime)\exp(-j\frac{2\pi n}{T}(t^\prime-kT))\ dt^\prime\
=&\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{kT-\frac{T}{2}}^{kT+\frac{T}{2}}
f(t^\prime)\exp(-j\frac{2\pi n}{T}t^\prime)\ dt^\prime\
=&\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t^\prime)\exp(-j\frac{2\pi n}{T}t^\prime)\ dt^\prime\
=&\frac{1}{T}\mathcal{F}(f(\frac{2\pi n}{T}))\
\end{aligned}
$$
那么就有
\[
\begin{aligned}
g(t)=&\ \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(\frac{2\pi n}{T})\exp(j\frac{2\pi n}{T}t)\\
G(j\Omega)=&\ \int_{-\infty}^{+\infty}g(t)\exp(-j\Omega t)\ dt\\
=&\ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(\frac{2\pi n}{T})\exp(j\frac{2\pi n}{T}t)\exp(-j\Omega t)\ dt\\
=&\ \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(\frac{2\pi n}{T})\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(j\frac{2\pi n}{T}t)\exp(-j\Omega t)\ dt\\
=&\ \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(\frac{2\pi n}{T})\delta(\Omega-\frac{2\pi n}{T})
\end{aligned}
\]
这一串的 \(\delta\) 不就是在采样嘛, 而且采样的幅度就是 \(f\) 在频域上的对应的值 \(F\).
该公式也被称为 泊松求和公式 Poisson Summation Formula, 在分析离散信号的过程中很有用.